Questions et réponses pendant le cours
La démonstration.

Q. Je lis vos cours avec beaucoup d'attention et de curiosité depuis pas  mal de temps. Les dissertations m'éclairent admirablement bien dans beaucoup de sujets. Mais celle sur la démonstration me pose un petit problème. Dans la  troisième partie vous ne donnez pas d'exemple sur un quelconque désaccord entre mathématiciens. Vous n'en auriez pas un?

R.     Je viens à peine de rédiger ce texte et je ne l'ai pas encore soumis à un prof de math ! Je compte le faire à la rentrée. Merci pour votre  remarque. Je vous conseille la lecture du livre de Jacqueline Russ La  marche des idées contemporaines qui est très bien documenté sur votre  question.

    Plus précis, voir Morris Kline Mathématiques, la fin de la certitude, éditions Bourgeois.
Sur les exemples, Kline donne le principe du tiers exclus, considéré comme admis autrefois est refusé par certains.

    Robert Blanché dans La logique et son histoire parle donne : "ce qui est parfaitement clair et  incontestable pour les uns est pour les autres dénué de sens... l'axiome de choix que Zermalo croit pouvoir invoquer en raison de son  évidence, comme l'une des bases de l'axiomatisation de la théorie des ensembles est refusé par d'autres comme inintelligible. La légitimité  inconditionnelle de la démonstration par l'absurde, la validité des principe logiques aussi fondamentaux que ceux du tiers exclus et de la double négation sont contestés par les intuitionnistes, alors que  leurs propres démonstrations demeurent inaccessibles aux autres mathématiciens. L'un d'eux devant une situation aussi scandaleuse, en  vient à se demander si il n'y aurait pas des différences physiologiques entre cerveaux humains qui rendent les mathématiciens  mutuellement sourds aux raisonnement des autres" p.348.

Q. Quand vous dites : "Or, le résultat auquel parvient Gödel est le  suivant : si g est démontrable, alors non-g  l'est aussi". Cela  voudrait-il dire qu'une  affirmation peut se démontrer vraie ET fausse, avec les même axiomes ?

R. Malheureusement, il semble que cela ne soit pas exclus. Voir le livre de J. Russ.

Q. En fait, ce sont les axiomes de bases qui posent problème en raison de leur validité douteuse pour certains. Une validité qui pourrait dépendre d'une conviction personnelle du mathématiciens ( dû a ses "pathos" ?).

Avec la participation de Didier Maat.